Question

13．已知双曲线$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞0，b＞0）的虚轴长为2，离心率为$\frac{{\sqrt{5}}}{2}$，F₁，F₂为双曲线的两个焦点．
（1）求双曲线的方程；
（2）若双曲线上有一点P，满足∠F₁PF₂=60°，求△F₁PF₂的面积．

Answer 1

分析 （1）利用双曲线的离心率，以及虚轴长，求解a，b，得到双曲线的方程．
（2）利用双曲线的简单性质以及定义，结合余弦定理三角形的面积公式求解即可．

解答 解：（1）∵2b=2∴b=1
又$e=\frac{c}{a}$=$\frac{{\sqrt{5}}}{2}$∴${e^2}=\frac{c^2}{a^2}=\frac{{{a^2}+{b^2}}}{a^2}=1+\frac{b^2}{a^2}=\frac{5}{4}$，
∴a²=4，
∴双曲线的方程为$\frac{x^2}{4}-{y^2}=1$．
（2）由双曲线方程可知$2a=4，2c=2\sqrt{5}$，
∴${|{{F_1}{F_2}}|^2}=20$，
由双曲线定义有||PF₁|-|PF₂||=4
两边平方得${|{P{F_1}}|^2}+{|{P{F_2}}|^2}-2|{P{F_1}}||{P{F_2}}|=16$-------①
由余弦定理，有$|{F}_{1}{F}_{2}{|}^{2}=|P{F}_{1}{|}^{2}+|P{F}_{2}{|}^{2}-2|P{F}_{1}||P{F}_{2}|cos6{0°}^{\;}$，
∴${|{P{F_1}}|^2}+{|{P{F_2}}|^2}-|{P{F_1}}||{P{F_2}}|=20$----------②
由①②可得|PF₁||PF₂|=20-16=4，
∴${S}_{△{F}_{1}P{F}_{2}}=\frac{1}{2}|P{F}_{1}||P{F}_{2}|sin6{0°}^{\;}=\frac{1}{2}×4×\frac{\sqrt{3}}{2}=\sqrt{3}$．

点评 本题考查直线与双曲线的位置关系的综合应用，双曲线的简单性质的应用，考查分析问题解决问题的能力．