Question

命题p：函数y=lg（x+

a

x

-3）在区间[2，+∞）上是增函数；命题q：y=lg（x²-ax+4）函数的定义域为R，则p是q成立的（　　）

• A、充分不必要条件
• B、必要不充分条件
• C、充分不必要条件
• D、既不充分也不必要条件

Answer 1

考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断

专题：导数的综合应用,简易逻辑

分析：先根据函数单调性和函数导数符号的关系，及对数式中真数大于0，一元二次不等式的解和判别式△的关系即可求出命题p，q下的a的范围，再根据充分条件，必要条件的概念判断p，q的关系即可．

解答： 解：y′=

x2-a

x2(x+ a x -3)ln10

；
∵函数y=lg（x+

a

x

-3）在区间[2，+∞）上是增函数；
根据函数y=lg（x+

a

x

-3）知，x+

a

x

-3＞0；
∴x²-a≥0在[2，+∞）上恒成立，∴(x+

a

x

-3)′=

x2-a

x2

≥0，即函数x+

a

x

-3在[2，+∞）是增函数；
∴x+

a

x

-3≥2+

a

2

-3＞0，∴a＞2；
由x²-a≥0在[2，+∞）上恒成立得a≤x²恒成立，∴a≤4；
∴2＜a≤4；
y=lg（x²-ax+4）函数的定义域为R，所以不等式x²-ax+4＞0的解集为R；
∴△=a²-16＜0，∴-4＜a＜4；
显然2＜a≤4是-4＜a＜4的既不充分又不必要条件；
∴p是q成立的既不充分也不必要条件．
故选D．

点评：考查函数单调性和函数导数符号的关系，根据单调性求最值，对数式中真数大于0，以及一元二次不等式的解和判别式△的关系．