Question

（1）证明：||a|-|b||≤|a±b|≤|a|+|b|（a，b∈R）；
（2）利用（1）的结论证明：
①|x+2|-|x-1|≤3，
②|x-1|+|x-2|+|x-3|+|x-5|+|x-7|≥9，并指出等号成立的条件．

Answer 1

考点：不等式的证明

专题：不等式

分析：（1）设复数z=a+bi（a，b∈R），定义复数z的模为：|z|=

a2+b2

，对任意复数z₁，z₂，不等式||z₁|-|z₂||≤|z₁+z₂|≤|z₁|+|z₂|，由此能证明||a|-|b||≤|a±b|≤|a|+|b|（a，b∈R）．
（2）①由（1）得|x+2|-|x-1|≤|x+2-x+1|=3．
②由（1）得|x-1|+|x-2|+|x-3|+|x-5|+|x-7|≥|x-1+x-2+x-3+5-x+7-x|≥9．当且仅当x=3时，取等号．

解答： （1）证明：设复数z=a+bi（a，b∈R），定义复数z的模为：
|z|=

a2+b2

，
对任意复数z₁，z₂，不等式||z₁|-|z₂||≤|z₁+z₂|≤|z₁|+|z₂|，
同理，设平面向量

a

={x，y}，定义向量的模为：|

a

|=

x2+y2

，
对于任意向量

a

，

b

，得||

a

|-|

b

||≤|

a

±

b

|≤|

a

|+|

b

|．
∴||a|-|b||≤|a±b|≤|a|+|b|（a，b∈R）．
（2）①证明：由（1）得|x+2|-|x-1|≤|x+2-x+1|=3．
当且仅当x≥1时，取等号．
②证明：由（1）得：
|x-1|+|x-2|+|x-3|+|x-5|+|x-7|
≥|x-1+x-2+x-3+5-x+7-x|
=|-1-2+x-3+5+7|
≥9．
当且仅当x=3时，取等号．

点评：本题考查不等式的证明，是中档题，解题时要认真审题，注意复数的性质的合理运用．