Question

8．若函数y=Asin（ωx+φ）$（{A＞0，ω＞0，|φ|＜\frac{π}{2}}）$在一个周期内的图象如图所示，且在$y轴上的截距为\sqrt{2}$，M，N分别是这段图象的最高点和最低点，
则$\overrightarrow{ON}在\overrightarrow{OM}$方向上的投影为（　　）

• A． $\frac{{\sqrt{29}}}{29}$
• B． $\frac{{\sqrt{5}}}{5}$
• C． -$\frac{{\sqrt{29}}}{29}$
• D． $-\frac{{\sqrt{5}}}{5}$

Answer 1

分析 由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，由函数在y轴上的截距求出A，可得函数的解析式，再利用两个向量数量积的定义，求出$\overrightarrow{ON}在\overrightarrow{OM}$方向上的投影．

解答 解：根据函数y=Asin（ωx+φ）$（{A＞0，ω＞0，|φ|＜\frac{π}{2}}）$在一个周期内的图象，
可得$\frac{T}{4}$=$\frac{1}{4}•\frac{2π}{ω}$=3-1，∴ω=$\frac{π}{4}$．
再根据五点法作图可得$\frac{π}{4}$•1+φ=$\frac{π}{2}$，∴φ=$\frac{π}{4}$，函数的解析式为y=Asin（$\frac{π}{4}$x+$\frac{π}{4}$）．
由于该函数在$y轴上的截距为\sqrt{2}$，∴Asin$\frac{π}{4}$=$\sqrt{2}$，∴A=2，故函数的解析式为y=2sin（$\frac{π}{4}$x+$\frac{π}{4}$）．
∴M（1，2）、N（5，-2），∴$\overrightarrow{OM}$$•\overrightarrow{ON}$=5-4=1．
设$\overrightarrow{ON}在\overrightarrow{OM}$方向上的投影为a，∵$\overrightarrow{OM}$$•\overrightarrow{ON}$=1=a•|$\overrightarrow{OM}$|=$\sqrt{5}$a，∴a=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，
故选：B．

点评 本题主要考查由函数y=Asin（ωx+φ）的部分图象求解析式，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，由函数在y轴上的截距求出A，两个向量数量积的定义，属于基础题．