Question

19．已知F₁、F₂是双曲线M：$\frac{y^2}{4}$-$\frac{x^2}{m^2}$=1的焦点，y=$\frac{{2\sqrt{5}}}{5}$x是双曲线M的一条渐近线，离心率等于$\frac{3}{4}$的椭圆E与双曲线M有相同的焦点：
（1）求m的值与椭圆E的标准方程；
（2）若过点（1，0）且倾斜角为60^°的直线与椭圆E交于A、B两点，求AB的长度．

Answer 1

分析 （1）利用F₁、F₂是双曲线M：$\frac{y^2}{4}$-$\frac{x^2}{m^2}$=1的焦点，y=$\frac{{2\sqrt{5}}}{5}$x是双曲线M的一条渐近线，离心率等于$\frac{3}{4}$的椭圆E与双曲线M的焦点相同，由渐近线方程求得m的值，椭圆的c，由离心率求得a，进而得到b，可得椭圆方程；
（2）求出直线方程，代入椭圆方程，消去y，可得x的二次方程，运用韦达定理和弦长公式，即可得到所求．

解答 解：（1）双曲线M：$\frac{y^2}{4}$-$\frac{x^2}{m^2}$=1的渐近线方程为y=±$\frac{2}{m}$x，
由题意，$\frac{2}{|m|}$=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，∴m=±$\sqrt{5}$，
∴双曲线M：$\frac{{y}^{2}}{4}$-$\frac{{x}^{2}}{5}$=1，
∴F₁（0，-3），F₂（0，3），
∵离心率等于$\frac{3}{4}$的椭圆E与双曲线M的焦点相同，
∴c=3，a=4，b=$\sqrt{7}$，
则椭圆E的标准方程为$\frac{{y}^{2}}{16}$+$\frac{{x}^{2}}{7}$=1；
（2）过点（1，0）且倾斜角为60^°的直线方程为y-0=$\sqrt{3}$（x-1），
即y=$\sqrt{3}$x-$\sqrt{3}$，
代入椭圆方程$\frac{{y}^{2}}{16}$+$\frac{{x}^{2}}{7}$=1，
消去y，可得37x²-42x-91=0，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
可得x₁+x₂=$\frac{42}{37}$，x₁x₂=-$\frac{91}{37}$，
则|AB|=$\sqrt{1+3}$•$\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$
=2$\sqrt{（\frac{42}{37}）^{2}+\frac{4×91}{37}}$=$\frac{16}{37}$$\sqrt{238}$．

点评 本题考查椭圆、双曲线的方程和性质，考查渐近线方程和离心率公式的运用，考查直线与椭圆方程联立，运用韦达定理和弦长公式，考查学生的计算能力，属于中档题．