Question

10．已知（$\sqrt{x}$-$\root{3}{x}$）ⁿ的二项展开式中所有奇数项的系数之和为512，求展开式的所有有理项（指数为整数）．

Answer 1

分析 利用二项式定理的通项公式即可得出．

解答 解：由题意可得2^n-1=512，解得n=10．
∴$（\sqrt{x}-\root{3}{x}）^{10}$的通项公式T_r+1=${∁}_{10}^{r}$$（\sqrt{x}）^{10-r}$$•（-\root{3}{x}）^{r}$=（-1）^r${∁}_{10}^{r}$${x}^{5-\frac{r}{6}}$，
当r=0，6时，5-$\frac{r}{6}$=0，4．
∴展开式的所有有理项为：x⁵，${∁}_{10}^{4}$x⁴．

点评 本题考查了二项式定理的应用，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．