题目内容
12．已知f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{（1-2a）^x}，x≤1\\{log_a}x+\frac{1}{3}，x＞1\end{array}$，当x1≠x2时，$\frac{{f（{x_1}）-f（{x_2}）}}{{{x_2}-{x_1}}}$＞0，则a的取值集合是（ ）| A． | ∅ | B． | $（0，\frac{1}{3}]$ | C． | $[{\frac{1}{3}，\frac{1}{2}}]$ | D． | $（0，\frac{1}{3}）$ |
分析 由x1≠x2时，$\frac{{f（{x_1}）-f（{x_2}）}}{{{x_2}-{x_1}}}$＞0，得到函数为减函数，再根据指数函数和对数的函数的性质，得到关于a的不等式组，解得即可．
解答 解：当x1≠x2时，$\frac{{f（{x_1}）-f（{x_2}）}}{{{x_2}-{x_1}}}$＞0则函数为减函数，
∵f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{（1-2a）^x}，x≤1\\{log_a}x+\frac{1}{3}，x＞1\end{array}$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{0＜1-2a＜1}\\{0＜a＜1}\\{1-2a≥\frac{1}{3}}\end{array}\right.$，
解得0＜a≤$\frac{1}{3}$，
故选：B
点评 本题考查了函数的单调性和分段函数的性质，属于中档题．
练习册系列答案
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7．已知函数f（x）由如表给出，则f（f（3））=1．
| x | -1 | 1 | 3 |
| f（x） | 1 | 0 | -1 |
17．向量$\overrightarrow{AB}$与$\overrightarrow{CD}$共线是A，B，C，D四点共线的（ ）
| A． | 充分不必要条件 | B． | 必要不充分条件 | ||
| C． | 充要条件 | D． | 既不充分也不必要条件 |