Question

10．设数列{a_n}的前n项和为S_n，关于数列{a_n}有下列四个结论：
①若数列{a_n}既是等差数列又是等比数列，则S_n=na₁；
②若S_n=2^n-1，则数列{a_n}是等比数列；
③若S_n=an²+bn（a，b∈R），则数列{a_n}是等差数列；
④若S_n=an（a∈R），则数列{a_n}既是等差数列又是等比数列．
其中正确结论的序号是①③．

Answer 1

分析 ①若{a_n}既是等差数列又是等比数列，则数列为非0常数列，即a_n=a₁，即可判断出正误．
②由S_n=2^n-1，当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=2^n-2，而a₁=1不适合上式，即可判断出正误．
③{a_n}是等差数列时，S_n=$n{a}_{1}+\frac{n（n-1）}{2}d$=$\frac{d}{2}{n}^{2}$+n$（{a}_{1}-\frac{d}{2}）$，即可判断出正误．
④若S_n=an，可得当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=a，n=1时，a₁=S₁=a．对a与0 的关系分类讨论即可判断出正误．

解答 解：①若{a_n}既是等差数列又是等比数列，则数列为非0常数列，即a_n=a₁，则S_n=na₁成立，因此正确．
②∵S_n=2^n-1，当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=2^n-1-2^n-2=2^n-2，而a₁=1不适合上式，所以{a_n}不是等比数列，因此不正确．
③∵{a_n}是等差数列时，S_n=$n{a}_{1}+\frac{n（n-1）}{2}d$=$\frac{d}{2}{n}^{2}$+n$（{a}_{1}-\frac{d}{2}）$符合S_n=an²+bn（a，b∈R）的形式，故③成立．
④若S_n=an，∴当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=a，n=1时，a₁=S₁=a．∴a=0时，a_n=0，数列{a_n}仅是等差数列；a≠0时，
数列{a_n}既是等差数列又是等比数列，因此不正确．
故只有①③为真命题．
故答案为：①③．

点评 本题考查了等差数列与等比数列的定义通项公式与求和公式、数列的递推关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．