Question

设函数f（x）=|x+

1

a

|+|x-a|（a＞0）．
（Ⅰ）证明：f（x）≥2；
（Ⅱ）若f（3）＜5，求a的取值范围．

Answer 1

考点：绝对值不等式的解法

专题：不等式的解法及应用

分析：（Ⅰ）由a＞0，f（x）=|x+

1

a

|+|x-a|，利用绝对值三角不等式、基本不等式证得f（x）≥2成立．
（Ⅱ）由f（3）=|3+

1

a

|+|3-a|＜5，分当a＞3时和当0＜a≤3时两种情况，分别去掉绝对值，求得不等式的解集，再取并集，即得所求．

解答： 解：（Ⅰ）证明：∵a＞0，f（x）=|x+

1

a

|+|x-a|≥|（x+

1

a

）-（x-a）|=|a+

1

a

|=a+

1

a

≥2

a• 1 a

=2，
故不等式f（x）≥2成立．
（Ⅱ）∵f（3）=|3+

1

a

|+|3-a|＜5，
∴当a＞3时，不等式即a+

1

a

＜5，即a²-5a+1＜0，解得3＜a＜

5+ 21

2

．
当0＜a≤3时，不等式即 6-a+

1

a

＜5，即 a²-a-1＞0，求得

1+ 5

2

＜a≤3．
综上可得，a的取值范围（

1+ 5

2

，

5+ 21

2

）．

点评：本题主要考查绝对值三角不等式，绝对值不等式的解法，体现了转化、分类讨论的数学思想，属于中档题．