Question

若双曲线

x2

m2

-

y2

n2

=1（m＞n＞0）和椭圆

x2

m2

+

y2

n2

=1（m＞n＞0）的离心率分别为e₁和e₂，则e₁e₂的最大值为

 

．

Answer 1

考点：双曲线的简单性质

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：根据双曲线和椭圆离心率的定义分别求出对应的离心率，即可得到结论．

解答： 解：双曲线中a=m，b=n，c=

m2+n2

，双曲线的离心率e₁=

c

a

=

m2+n2

m

，
椭圆中a=m，b=n，c=

m2-n2

，椭圆的离心率e₂=

c

a

=

m2-n2

m

，
则e₁e₂=

m2+n2

m

•

m2-n2

m

=

m4-n4 m4

=

1-( n m )4

，
∵m＞n＞0，
∴0＜

n

m

＜1，即0＜（

n

m

）⁴＜1，0＜1-（

n

m

）⁴＜1，
即0＜

1-( n m )4

＜1，
∴e₁e₂的最大值不存在，
故答案为：不存在

点评：本题主要考查双曲线和椭圆离心率的计算，根据条件求出相应的离心率是解决本题的关键．