Question

7．S_n为等差数列{a_n}的前n项和，且a₁=1，S₇=28．记b_n=[lga_n]，其中[x]表示不超过x的最大整数，如[0.9]=0，[lg99]=1．
（Ⅰ）求b₁，b₁₁，b₁₀₁；
（Ⅱ）求数列{b_n}的前1 000项和．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由题意求得数列{a_n}的公差，求得数列{a_n}的通项公式，根据对数函数的运算性质，即可求得求b₁，b₁₁，b₁₀₁；
（Ⅱ）根据对数函数的性质，b_n=$\left\{\begin{array}{l}{0}&{1≤n＜10}\\{1}&{10≤n＜100}\\{2}&{100≤n＜1000}\\{3}&{n=1000}\end{array}\right.$，数列{b_n}的前1000项和1×90+2×900+3×1=1893．

解答 解：（Ⅰ）设等差数列{a_n}公差为d，S₇=7a₁+$\frac{7×6}{2}$×d=28，则d=1，
∴a_n=n，
∴b₁=[lg1]=0，b₁₁=[lg11]=1，b₁₀₁=[lg101]=2；
（Ⅱ）由题意可知：b_n=$\left\{\begin{array}{l}{0}&{1≤n＜10}\\{1}&{10≤n＜100}\\{2}&{100≤n＜1000}\\{3}&{n=1000}\end{array}\right.$，
∴数列{b_n}的前1000项和1×90+2×900+3×1=1893．
数列{b_n}的前1000项和1893．

点评 本题考查等差数列的性质，等差数列通项公式和求和公式，对数函数的性质，考查计算能力，属于中档题．