Question

10．已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，当x∈（0，1）时，f（x）=x+a，如果函数f（x）的图象与圆x²+y²=1的交点个数为4，则a的取值范围为（　　）

• A． {a|-$\sqrt{2}$≤a＜-1}
• B． {a|-$\sqrt{2}$＜a≤-1}
• C． {a|-$\sqrt{2}$＜a＜-1}
• D． {a|-$\sqrt{2}$≤a≤-1}

Answer 1

分析 利用函数奇偶性的性质，结合对称性得到当x∈（0，1）时，f（x）的图象与圆x²+y²=1的交点个数为2，利用直线和圆的关系进行判断即可．

解答 解：∵函数f（x）是定义在R上的奇函数，当x∈（0，1）时，f（x）=x+a，
∴要使数f（x）的图象与圆x²+y²=1的交点个数为4，
则等价为当x∈（0，1）时，f（x）的图象与圆x²+y²=1的交点个数为2，
作出对应的图象如图：
当a≥0时，两个函数的交点个数最多有一个，不满足条件．
当直线经过点A（0，-1）时，由-1=0+a得a=-1，此时f（x）与圆没有交点，
当直线和圆在第四象限内相切时，a＜0
由圆心到直线x-y+a=0的距离d=$\frac{|a|}{\sqrt{2}}=1$得|a|=$\sqrt{2}$，
得a=-$\sqrt{2}$，此时直线和圆有一个交点，
则要使当x∈（0，1）时，f（x）的图象与圆x²+y²=1的交点个数为2，
则实数a的取值范围是-$\sqrt{2}$＜a＜-1，
故选：C

点评 本题主要考查函数奇偶性的应用，利用奇偶性的对称性转化为当x∈（0，1）时，f（x）的图象与圆x²+y²=1的交点个数为2，利用直线和圆的位置关系是解决本题的关键．