Question

13．直角坐标系xOy中，直线l的参数方程是$\left\{\begin{array}{l}{x=1+tcosα}\\{y=tsinα}\\{\;}\end{array}\right.$（t为参数，0≤α＜π），以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程ρ=-4cosθ，圆C的圆心到直线l的距离为$\frac{3}{2}$．
（Ⅰ）求α的值；
（Ⅱ）已知P（1，0），若直线l于圆C交于A、B两点，求$\frac{1}{|PA|}$+$\frac{1}{|PB|}$的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）消去参数t，可得直线的普通方程，利用点到直线的距离公式求解即可．
（Ⅱ）参数方程代入圆的方程，利用参数的几何意义求解$\frac{1}{|PA|}$+$\frac{1}{|PB|}$的值．

解答 解：（Ⅰ）直线l的参数方程是$\left\{\begin{array}{l}{x=1+tcosα}\\{y=tsinα}\\{\;}\end{array}\right.$，消去t，可得直线l的普通方程为：xsinα-ycosα-sinα=0．
圆C的普通方程为x²+y²+4x=0．
∵C（-2，0）∴C到l的距离d=$\frac{|-2sinα-sinα|}{\sqrt{si{n}^{2}α+co{s}^{2}α}}$=3sinα=$\frac{3}{2}$，∴sin$α=\frac{1}{2}$        …．（4分）
∵0≤α＜π，∴α=$\frac{π}{6}$或α=$\frac{5π}{6}$        …．（5分）
（Ⅱ）∵$\left\{\begin{array}{l}{x=1+tcosα}\\{y=tsinα}\\{\;}\end{array}\right.$代入x²+y²+4x=0得：（1+tcosα）²+（tsinα）2+4（1+tcosα）=0，
∴t²+6tcosα+5=0，设A，B对应参数为t₁，t₂，则$\left\{\begin{array}{l}{{t}_{1}+{t}_{2}=-6cosα}\\{{t}_{1}{t}_{2}=5}\end{array}\right.$
t₁，t₂同号                                             …．（8分）
|t₁+t₂|=3$\sqrt{3}$
∴$\frac{1}{|PA|}$+$\frac{1}{|PB|}$=$\frac{1}{|{t}_{1}|}+\frac{1}{|{t}_{2}|}$=$\frac{|{t}_{1}|+|{t}_{2}|}{|{t}_{1}{t}_{2}|}$=$\frac{3\sqrt{3}}{5}$．…．（10分）

点评 本题考查直线的参数方程以及圆的方程的综合应用，考查转化思想以及计算能力．