Question

已知函数f（x）=x+alnx在x=1处的切线l与直线x+2y=0垂直，函数g（x）=f（x）+

1

2

x²-bx．
（Ⅰ）求实数a的值；
（Ⅱ）设x₁，x₂（x₁＜x₂）是函数g（x）的两个极值点，若b≥

7

2

，求g（x₁）-g（x₂）的最小值．

Answer 1

考点：导数在最大值、最小值问题中的应用,利用导数研究曲线上某点切线方程

专题：导数的综合应用

分析：（Ⅰ）求出函数的导数，利用切线与已知直线垂直，列出方程，即可求解a的值．
（Ⅱ）求出g'（x），列出求解函数的极值点的方程，利用韦达定理，化简g（x₁）-g（x₂），构造新函数，通过新函数的导数求解函数的最值．

解答： 解：（Ⅰ）∵f（x）=x+alnx，
∴f′(x)=1+

a

x

，
又l与直线x+2y=0垂直，∴k=f′（1）=1+a=2，
∴a=1．

（Ⅱ） g′(x)=

1

x

+x-(b-1)=

x2-(b-1)x+1

x

，
令g′（x）=0，得x²-（b-1）x+1=0，∴x₁+x₂=b-1，x₁x₂=1，
∵g(x1)-g(x2)=[lnx1+

1

2

x

2 1

-(b-1)x1]-[lnx2+

1

2

x

2 2

-(b-1)x2]
=ln

x1

x2

+

1

2

(

x

2 1

-

x

2 2

)-(b-1)(x1-x2)=ln

x1

x2

-

1

2

(

x1

x2

-

x2

x1

)，
∵0＜x₁＜x₂，所以设t=

x1

x2

(0＜t＜1)，
h(t)=lnt-

1

2

(t-

1

t

)(0＜t＜1)，
h′(t)=

1

t

-

1

2

(1+

1

t2

)=-

(t-1)2

2t2

＜0，所以h（t）在（0，1）单调递减，
又b≥

7

2

，  ∴(b-1)2≥

25

4

，
即(x1+x2)2=

(x1+x2)2

x1•x2

=t+

1

t

+2≥

25

4

，
∵0＜t＜1，  ∴4t2-17t+4≥0，  ∴0＜t≤

1

4

，
∴h(t)≥h(

1

4

)=

15

8

-2ln2，
故所求的最小值是

15

8

-2ln2．

点评：本题考查函数的导数的应用，函数的极值的求法韦达定理以及构造法的应用，考查分析问题解决问题的能力，转化思想的应用．