下面是某港口一天中部分时刻测量得到的水深表(时间单位:小时.水深单位:米) 时刻0:003:006:009:0012:0015:0018:0021:0024:00水深6.58.56.54.56.58.56.54.56.5若该港口水深关于时间的函数可以用y=Asin+B(A＞0.ω＞0.|φ|＜$\frac{π}{2}$).x∈[0.24)近似地表示:(1)试求出函数� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

11．

下面是某港口一天中部分时刻测量得到的水深表（时间单位：小时，水深单位：米）

时刻	0：00	3：00	6：00	9：00	12：00	15：00	18：00	21：00	24：00
水深	6.5	8.5	6.5	4.5	6.5	8.5	6.5	4.5	6.5

若该港口水深关于时间的函数可以用y=Asin（ωx+φ）+B（A＞0，ω＞0，|φ|＜$\frac{π}{2}$），x∈[0，24）近似地表示：
（1）试求出函数的解析式；
（2）某船吃水深度（船底与水面之间的距离）是4米，安全条例规定要有大于或等于3.5米的安全间隙（船底与海洋底之间的距离），问一天中在x∈[0，12]时间段，若要使此船连续停泊该港口时间最长，此船应何时进入该港口、何时离开该港口？

分析（1）由题意得$\left\{\begin{array}{l}{B+A=8.5}\\{B-A=4.5}\end{array}\right.$，T=12，由此能求出函数的解析式．
（2）由已知得2sin$\frac{π}{6}x$+6.5≥4+3.5，从而当x∈[0，12]时，$\frac{6}{π}arcsin\frac{1}{2}$≤x≤6-$\frac{6}{π}arcsin\frac{1}{2}$，由此能求出结果．

解答解：（1）该港口水深关于时间的函数可以用y=Asin（ωx+φ）+B（A＞0，ω＞0，|φ|＜$\frac{π}{2}$），x∈[0，24）近似地表示，
由题意得$\left\{\begin{array}{l}{B+A=8.5}\\{B-A=4.5}\end{array}\right.$，
解得B=6.5，A=2，
由某港口一天中部分时刻测量得到的水深表，得到T=12，
∴$\frac{2π}{ω}$=12，解得ω=$\frac{π}{6}$．
∴y=2sin$\frac{π}{6}x$+6.5，x∈[0，24）．
（2）∵某船吃水深度（船底与水面之间的距离）是4米，安全条例规定要有大于或等于3.5米的安全间隙（船底与海洋底之间的距离），
∴2sin$\frac{π}{6}x$+6.5≥4+3.5，则sin$\frac{π}{6}x$≥$\frac{1}{2}$，
当x∈[0，12]时，$\frac{6}{π}arcsin\frac{1}{2}$≤x≤6-$\frac{6}{π}arcsin\frac{1}{2}$，即1≤x≤5，
∴此船应在00：00进入该港口，并在05：00离开该港口．

点评本题考查三角函数解析式的求法，考查要使此船连续停泊该港口时间最长，此船应何时进入该港口、何时离开该港口的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意三角函数的性质的合理运用．