Question

2．已知函数f（x）=ax²+bx，且1≤f（1）≤2，2≤f（-2）≤4．向量$\overrightarrow m$=（a，b），$\overrightarrow n$=（0，2），则|$\overrightarrow m$-$\overrightarrow n$|的取值范围为$[\sqrt{2}，\sqrt{5}]$．

Answer 1

分析 函数f（x）=ax²+bx，且1≤f（1）≤2，2≤f（-2）≤4．可得：$\left\{\begin{array}{l}{1≤a+b≤2}\\{1≤2a-b≤2}\end{array}\right.$，如图所示，表示的可行域为四边形BACD及其内部的点，可得A，B，C，D．
向量$\overrightarrow m$=（a，b），$\overrightarrow n$=（0，2），$\overrightarrow m$-$\overrightarrow n$=（a，b-2），设点P（0，2），可得|$\overrightarrow m$-$\overrightarrow n$|=$\sqrt{{a}^{2}+（b-2）^{2}}$∈[|PC|，|PA|]．

解答 解：函数f（x）=ax²+bx，且1≤f（1）≤2，2≤f（-2）≤4．
∴$\left\{\begin{array}{l}{1≤a+b≤2}\\{2≤4a-2b≤4}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{1≤a+b≤2}\\{1≤2a-b≤2}\end{array}\right.$，
如图所示，表示的可行域为四边形BACD及其内部的点，可得A（1，0），B$（\frac{4}{3}，\frac{2}{3}）$，C（1，1），D$（\frac{2}{3}，\frac{1}{3}）$．
向量$\overrightarrow m$=（a，b），$\overrightarrow n$=（0，2），$\overrightarrow m$-$\overrightarrow n$=（a，b-2），
设点P（0，2），
|PC|=$\sqrt{2}$，|PB|=$\frac{4\sqrt{2}}{3}$，|PA|=$\sqrt{5}$，|PD|=$\frac{\sqrt{29}}{3}$．
则|$\overrightarrow m$-$\overrightarrow n$|=$\sqrt{{a}^{2}+（b-2）^{2}}$∈[|PC|，|PA|]=$[\sqrt{2}，\sqrt{5}]$，
故答案为：$[\sqrt{2}，\sqrt{5}]$．

点评 本题考查了线性规划的有关知识、不等式的性质、两点之间的距离公式，考查了数形结合方法、推理能力与计算能力，属于中档题．