Question

19．已知R上的可导函数f（x）的图象如图所示，则不等式（x²-2x-3）f′（x）＞0的解集为（　　）

• A． （-∞，-2）∪（1，+∞）
• B． （-∞，-2）∪（1，2）
• C． （-∞，-1）∪（-1，1）∪（3，+∞）
• D． （-∞，-1）∪（-1，0）∪（2，+∞）

Answer 1

分析 结合已知中可导函数f（x）的图象，分析不同区间上（x²-2x-3）和f′（x）的符号，进而可得答案．

解答 解：由已知中函数f（x）的图象可得：
当x＜-1时，函数为增函数，此时f′（x）＞0，x²-2x-3＞0，（x²-2x-3）f′（x）＞0；
当-1＜x＜1时，函数为减函数，此时f′（x）＜0，x²-2x-3＜0，（x²-2x-3）f′（x）＞0；
当x＞1时，函数为增函数，此时f′（x）＞0；
当1＜x＜3时，x²-2x-3＜0，（x²-2x-3）f′（x）＜0，
当x＞3时，x²-2x-3＞0，（x²-2x-3）f′（x）＞0；
综上可得：不等式（x²-2x-3）f′（x）＞0的解集为（-∞，-1）∪（-1，1）∪（3，+∞），
故选：C

点评 本题考查的知识点是函数的图象，利用导数研究函数的单调性，数形结合思想，分类讨论思想，难度中档．