Question

9．以椭圆$\frac{{x}^{2}}{16}$+$\frac{{y}^{2}}{9}$=1的顶点为顶点，离心率为2的双曲线方程（　　）

• A． $\frac{{y}^{2}}{9}$-$\frac{{x}^{2}}{27}$=1
• B． $\frac{{x}^{2}}{16}$-$\frac{{y}^{2}}{48}$=1或$\frac{{y}^{2}}{9}$-$\frac{{x}^{2}}{27}$=1
• C． $\frac{{x}^{2}}{16}$-$\frac{{y}^{2}}{48}$=1
• D． 以上都不对

Answer 1

分析 由椭圆方程求出椭圆的顶点坐标，然后分类讨论求得双曲线方程．

解答 解：由椭圆$\frac{{x}^{2}}{16}$+$\frac{{y}^{2}}{9}$=1，可得a²=16，b²=9，
∴椭圆的顶点坐标为（±4，0），（0，±3）．
若双曲线的顶点在x轴上，则a=4，由e=$\frac{c}{a}=2$，得c=8，∴b²=c²-a²=48．
双曲线方程为$\frac{{x}^{2}}{16}$-$\frac{{y}^{2}}{48}$=1；
若双曲线的顶点在y轴上，则a=3，由e=$\frac{c}{a}=2$，得c=6，∴b²=c²-a²=27．
双曲线方程为$\frac{{y}^{2}}{9}$-$\frac{{x}^{2}}{27}$=1．
综上，双曲线方程为$\frac{{x}^{2}}{16}$-$\frac{{y}^{2}}{48}$=1或$\frac{{y}^{2}}{9}$-$\frac{{x}^{2}}{27}$=1．
故选：B．

点评 本题考查椭圆的简单性质，考查双曲线方程的求法，体现了分类讨论的数学思想方法，是中档题．