Question

4．已知向量$\overrightarrow a，\overrightarrow b，\overrightarrow c$是单位向量，且$\overrightarrow a•\overrightarrow b=\frac{1}{2}$，则$（{\overrightarrow c-\overrightarrow a}）•（{\overrightarrow c-\overrightarrow b}）$的最小值是$\frac{3}{2}$-$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 设设$\overrightarrow{a}$=（1，0），$\overrightarrow{b}$=（$\frac{1}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$），$\overrightarrow{c}$=（cosθ，sinθ），利用三角恒等变换得出$（{\overrightarrow c-\overrightarrow a}）•（{\overrightarrow c-\overrightarrow b}）$的最小值．

解答 解：∵$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$=$\frac{1}{2}$，∴$\overrightarrow{a}，\overrightarrow{b}$的夹角为60°，
不妨设$\overrightarrow{a}$=（1，0），$\overrightarrow{b}$=（$\frac{1}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$），$\overrightarrow{c}$=（cosθ，sinθ），
则$\overrightarrow{c}-\overrightarrow{a}$=（cosθ-1，sinθ），$\overrightarrow{c}-\overrightarrow{b}$=（cosθ-$\frac{1}{2}$，sinθ-$\frac{\sqrt{3}}{2}$），
∴$（{\overrightarrow c-\overrightarrow a}）•（{\overrightarrow c-\overrightarrow b}）$=（cosθ-1）（cosθ-$\frac{1}{2}$）+sinθ（sinθ-$\frac{\sqrt{3}}{2}$）=cos²θ+sin²θ-$\frac{3}{2}$cosθ-$\frac{\sqrt{3}}{2}$sinθ+$\frac{1}{2}$=$\frac{3}{2}$-$\sqrt{3}$sin（θ+φ），
∴当sin（θ+φ）=1时，$（{\overrightarrow c-\overrightarrow a}）•（{\overrightarrow c-\overrightarrow b}）$取得最小值$\frac{3}{2}$-$\sqrt{3}$．
故答案为：$\frac{3}{2}$-$\sqrt{3}$．

点评 本题考查了平面向量的数量积运算，属于中档题．