Question

若任意的实数a≤-1，恒有a•2^b-b-3a≥0成立，则实数b的取值范围为

 

．

Answer 1

考点：函数恒成立问题

专题：计算题,函数的性质及应用,不等式的解法及应用

分析：设f（a）=a（2^b-3）-b，由题意可得，2^b-3＜0，且f（-1）≥0恒成立，再由g（x）=x+2^x在R上递增，且g（1）=3，解不等式求交集即可．

解答： 解：设f（a）=a（2^b-3）-b，
由于任意的实数a≤-1，恒有a•2^b-b-3a≥0成立，
则2^b-3＜0，且f（-1）≥0恒成立，
则有b＜log₂3，且3-b-2^b≥0，
由b+2^b≤3，又g（x）=x+2^x在R上递增，且g（1）=3，
则g（b）≤g（1），解得b≤1．
又b＜log₂3，则有b≤1．
故答案为：（-∞，1]．

点评：本题考查函数恒成立问题，考查构造函数运用单调性解题，考查不等式的解法，考查运算能力，属于中档题和易错题．