Question

已知四棱锥 (图5) 的三视图如图6所示，为正三角形，垂直底面，俯视图是直角梯形．（1）求正视图的面积；（2）求四棱锥的体积；（3）求证：平面；

Answer 1

解：（1）过A作，根据三视图可知，E是BC的中点，       _{(1 分)}

且，                               _{(2 分)}

又∵为正三角形，∴，且   

∴                                        _{(3 分)}

∵平面，平面，∴                   _{(4 分)}

∴，即                                   _{(5 分)}

正视图的面积为                                     _{(6 分)}

（2）由（1）可知，四棱锥的高，                     _{(7 分)}

底面积为                                _(8分)

∴四棱锥的体积为           _{(10 分)}

（3）证明：∵平面，平面，∴          _{(11 分)}

           ∵在直角三角形ABE中，                

          在直角三角形ADC中，                   _{(12 分)}

          ∴,∴是直角三角形                  _{(13 分)}

          ∴

          又∵，∴平面                            _{(14 分)}