Question

2．已知函数f（x）=x²-（m+1）x+m（m∈R）．
（1）解关于x的不等式f（x）＜0；
（2）当m=-2时，不等式f（x）＞ax-5在（0，3）上恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）△=（m+1）²-4m=（m-1）²≥0，讨论f（x）=0的解，结合函数图象得出f（x）＜0得解；
（2）令F（x）=f（x）-ax+5，则F（x）在（0，3）上的最小值大于0．

解答 解：（1））△=（m+1）²-4m=（m-1）²≥0，
①当m=1时，△=0，方程f（x）=0的解为x=$\frac{m+1}{2}$，
∵f（x）的图象开口向上，
∴f（x）＜0的解为∅．
②当m≠1时，△＞0，方程f（x）=0的解为x₁=m，x₂=1．
∴当m＜1时，f（x）＜0的解为m＜x＜1，
当m＞1时，f（x）＜0的解为1＜x＜m．
综上，当m＜1时，f（x）＜0的解为m＜x＜1；
当m=1时，f（x）＜0的解为∅；
当m＞1时，f（x）＜0的解为1＜x＜m．
（2）当m=-2时，f（x）=x²+x-2．
令F（x）=f（x）-ax+5=x²+（1-a）x+3．
则F（x）的图象开口向上，对称轴为x=$\frac{a-1}{2}$．
①当$\frac{a-1}{2}$≤0，即a≤1时，F（x）在（0，3）上是增函数，
F_min（x）=F（0）=3＞0，符合题意．
②当$\frac{a-1}{2}$≥3，即a≥7时，F（x）在（0，3）上是减函数，
F_min（x）=F（3）=15-3a≥0，
解得a≤5，舍去．
③当0＜$\frac{a-1}{2}$＜3，即1＜a＜7时，F（x）在（0，$\frac{a-1}{2}$）上是减函数，在[$\frac{a-1}{2}$，3）上是增函数，
F_min（x）=F（$\frac{a-1}{2}$）=$\frac{-{a}^{2}+2a+11}{4}$＞0，
解得1-2$\sqrt{3}$＜a＜1+2$\sqrt{3}$．
∴1＜a＜1+2$\sqrt{3}$．
综上，a的取值范围是（-∞，1+2$\sqrt{3}$）．

点评 本题考查了二次不等式的解法及函数恒成立问题和分类讨论思想，找到分类标准是解题关键．