Question

14．已知实数x、y满足方程x²+y²-4x+1=0，$\frac{y}{x-5}$的最大值$\frac{\sqrt{2}}{2}$和最小值-$\frac{\sqrt{2}}{2}$．

Answer 1

分析 整理方程可知，方程表示以点（2，0）为圆心，以$\sqrt{3}$为半径的圆，设$\frac{y}{x-5}$=k，进而根据圆心（2，0）到y=kx-5k的距离为半径时直线与圆相切，斜率取得最大、最小值

解答 解：方程x²+y²-4x+1=0表示以点（2，0）为圆心，以$\sqrt{3}$为半径的圆．
设$\frac{y}{x-5}$=k，即y=kx-5k，
由圆心（2，0）到y=kx-5k的距离为半径时直线与圆相切，斜率取得最大、最小值，
由$\frac{|2k-5k|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$=$\sqrt{3}$，解得k²=$\frac{1}{2}$．
∴k_max=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，k_min=--$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
则$\frac{y}{x-5}$的最大值为$\frac{\sqrt{2}}{2}$，最小值为-$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
故答案为：$\frac{\sqrt{2}}{2}$，-$\frac{\sqrt{2}}{2}$．

点评 此题考查代数式的最大值和最小值的求法，是中档题，解题时要注意直线与圆的位置关系，以及斜率的计算公式的合理运用．