Question

5．如图，在平行六面体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，底面是边长为1的正方形，若∠A₁AB=∠A₁AD=60°，且A₁C=$\sqrt{5}$，则A₁A=3．

Answer 1

分析 设$|\overrightarrow{{A}_{1}A}|$=x＞0．由$\overrightarrow{{A}_{1}C}$=$\overrightarrow{{A}_{1}A}$+$\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{AC}$，可得：$|\overrightarrow{{A}_{1}C}{|}^{2}$=${\overrightarrow{{A}_{1}A}}^{2}$+${\overrightarrow{AD}}^{2}$+${\overrightarrow{AC}}^{2}$+$2（\overrightarrow{{A}_{1}A}•\overrightarrow{AD}$+$\overrightarrow{{A}_{1}A}•\overrightarrow{AC}$+$\overrightarrow{AD}•\overrightarrow{AC}）$=5，利用数量积运算性质即可得出．

解答 解：设$|\overrightarrow{{A}_{1}A}|$=x＞0．
∵$\overrightarrow{{A}_{1}C}$=$\overrightarrow{{A}_{1}A}$+$\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{AC}$，
∴$|\overrightarrow{{A}_{1}C}{|}^{2}$=${\overrightarrow{{A}_{1}A}}^{2}$+${\overrightarrow{AD}}^{2}$+${\overrightarrow{AC}}^{2}$+$2（\overrightarrow{{A}_{1}A}•\overrightarrow{AD}$+$\overrightarrow{{A}_{1}A}•\overrightarrow{AC}$+$\overrightarrow{AD}•\overrightarrow{AC}）$
=x²+1+1+2（-xcos60°-xcos60°+0）=5，
∴x²-2x-3=0，
解得x=3．
故答案为：3．

点评 本题考查了空间向量运算法则、数量积运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．