Question

16．已知等差数列{a_n}满足：a₅=9，a₁+a₇=14．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）若b_n=a_n+3ⁿ，求数列{b_n}的前n项和S_n．

Answer 1

分析 （1）由等差数列的性质可得a₁+a₇=2a₄．即a₄=7，则d=a₅-a₄=2，由等差数列的通项公式a_n=a₅+2（n-5），即可求得数列{a_n}的通项公式；
（2）由（1）可知：b_n=a_n+3ⁿ=2n-1+3ⁿ，根据等差数列和等比数列前n项和公式，采用分组求和，即可求得数列{b_n}的前n项和S_n．

解答 解：（1）由等差数列的性质可得a₁+a₇=2a₄．
∴a₄=7，
∴d=a₅-a₄=2，
∴等差数列的通项公式a_n=a₅+2（n-5）=2n-1，
∴数列{a_n}的通项公式a_n=2n-1；…（5分）
（2）由（1）可知：a_n=2n-1，得b_n=a_n+3ⁿ=2n-1+3ⁿ，
数列{b_n}的前n项和S_n，S_n=（1+3+5+…+2n-1）+（3+3²+3³+…+3ⁿ），
=$\frac{（1+2n-1）n}{2}$+$\frac{3（1-{3}^{n}）}{1-3}$，
=n²+$\frac{{3}^{n+1}}{2}$-$\frac{3}{2}$，
∴S_n=n²+$\frac{{3}^{n+1}}{2}$-$\frac{3}{2}$，…（10分）

点评 本题考查等差数列性质，采用分组求和，求等差数列和等比数列的前n项和，考查计算能力，属于中档题．