Question

17．对于函数f（x）定义域内的任意x₁，x₂（x₁≠x₂），有以下结论：
①f（0）=1；
②f（1）=0
③f（x₁+x₂）=f（x₁）•f（x₂）
④f（x₁•x₂）=f（x₁）+f（x₂）
⑤f（$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$）＜$\frac{f（{x}_{1}）+f（{x}_{2}）}{2}$
⑥f（$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$）＞$\frac{f（{x}_{1}）+f（{x}_{2}）}{2}$
当f（x）=2^x时，则上述结论中成立的是①③⑤（填入你认为正确的所有结论的序号）

Answer 1

分析 f（0）=2⁰=1，故①正确；f（1）=2，故②错误；根据分数指数幂的运算性质可知③正确，④错误；根据基本不等式和分数指数幂的运算性质可知⑤正确，⑥错误．

解答 解：对于①：f（0）=2⁰=1，故①正确；
对于②：f（1）=2，故②错误；
对于③：根据分数指数幂的运算性质可知，f（x₁+x₂）=2^x₁+x₂=${2}^{{x}_{1}}•{2}^{{x}_{2}}$=f（x₁）•f（x₂），故③正确；
对于④：根据分数指数幂的运算性质可知，f（x₁•x₂）=${2}^{{x}_{1}•{x}_{2}}$=${（2}^{{x}_{1}}）^{{x}_{2}}$，$f（{x}_{1}）+f（{x}_{2}）={2}^{{x}_{1}}+{2}^{{x}_{2}}$．则f（x₁•x₂）≠f（x₁）+f（x₂），故④错误；
对于⑤⑥：根据基本不等式和分数指数幂的运算性质可知．由于$\frac{f（{x}_{1}）+f（{x}_{2}）}{2}$=$\frac{{2}^{{x}_{1}}+{2}^{{x}_{2}}}{2}$$＞\frac{2\sqrt{{2}^{{x}_{1}}•{2}^{{x}_{2}}}}{2}=\sqrt{{2}^{{x}_{1}}•{2}^{{x}_{2}}}$，$f（\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}）={2}^{\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}}$=${（2}^{{x}_{1}+{x}_{2}}）^{\frac{1}{2}}=\sqrt{{2}^{{x}_{1}}•{2}^{{x}_{2}}}$，
所以$f（\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}）＜\frac{f（{x}_{1}）+f（{x}_{2}）}{2}$，故⑤正确，⑥错误．
故答案为：①③⑤．

点评 本题主要考查了分数指数幂的基本运算性质，以及基本不等式的应用，属于知识的简单综合应用．