Question

13．一个正三角形等分成4个全等的小正三角形，将中间的一个正三角形挖掉（如图1），再将剩余的每个正三角形分成4个全等的小正三角形，并将中间的一个正三角形挖掉，得图2，如此继续下去…
（1）图3共挖掉多少个正三角形？
（2）设原正三角形边长为a，第n个图形共挖掉多少个正三角形？这些正三角形面积和为多少？

Answer 1

分析 （1）图（3）共挖掉正三角形个数为1+3+3×3=13；
（2）求出${a_n}={3^{n-1}}$，即可得出结论．

解答 解：（1）图（3）共挖掉正三角形个数为1+3+3×3=13；…（4分）
（2）设第n次挖掉正三角形个数为a_n，则a₁=1，a₂=3，由已知，a_n+1=3a_n…（6分）
从而${a_n}={3^{n-1}}$…（8分）
第n个图形共挖掉正三角形个数为${a_1}+{a_2}+…+{a_n}=1+3+…+{3^{n-1}}=\frac{{{3^n}-1}}{2}$，…（10分）
这些正三角形面积为$\frac{{\sqrt{3}}}{4}{a^2}[\frac{1}{4}{a_1}+{（\frac{1}{4}）^2}{a_2}+…+{（\frac{1}{4}）^n}{a_n}]$=$\frac{{\sqrt{3}}}{16}{a^2}[1+（\frac{3}{4}）+…+{（\frac{3}{4}）^{n-1}}]=\frac{{\sqrt{3}}}{4}{a^2}[1-{（\frac{3}{4}）^n}]$．…（14分）

点评 本题考查合情推理，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．