Question

在平面上，若两个正三角形的边长的比为1：3，则它们的面积比为

 

；类似地：在空间，两个正四面体的棱长的比为1：3，则它们的体积比为

 

．

Answer 1

考点：棱柱、棱锥、棱台的体积

专题：空间位置关系与距离

分析：①由正三角形的面积计算公式S=

3

4

a2（a为边长），可得

S△1

S△2

=(

1

3

)2．
②如图所示，设正四面体的棱长为x，则AO=

3

3

x，可得h=

x2-( 3 3 x)2

=

6

3

x．利用它们的体积比=

1 3 h1S△1

1 3 h2S△2

=(

x1

x2

)3即可得出．

解答： 解：①由正三角形的面积计算公式S=

3

4

a2（a为边长）．
∴

S△1

S△2

=(

1

3

)2=

1

9

．
②如图所示，设正四面体的棱长为x，
则AO=

2

3

×

3

2

x=

3

3

x．
∴h=

x2-( 3 3 x)2

=

6

3

x．
∵两个正四面体的棱长的比为1：3，
则它们的体积比=

1 3 h1S△1

1 3 h2S△2

=(

x1

x2

)3=

1

27

．
故答案为：

1

9

，

1

27

．

点评：本题考查了面积比、体积比与棱长比之间的关系、三角形的面积计算公式、棱锥的体积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．