Question

已知向量

a

=（sinx，

3

2

），

b

=（cosx，-1）
（1）当

a

∥

b

时，求tanx的值；
（2）求f（x）=

a

•

b

+

b

2的最大值，并写出函数f（x）取得最大值时自变量x的集合．

Answer 1

考点：平面向量数量积的运算,平行向量与共线向量

专题：平面向量及应用

分析：（1）利用向量共线定理和同角三角函数基本关系式即可得出．．
（2）利用数量积运算、倍角公式、两角和差的正弦公式可得f（x）=

2

2

sin(2x+

π

4

)，再利用正弦函数的单调性有界性即可得出．

解答： 解：（1）∵

a

∥

b

，∴-sinx-

3

2

cosx=0，∴tanx=-

3

2

．
（2）f（x）=

a

•

b

+

b

2=sinxcosx-

3

2

+cos²x+1
=

1

2

sin2x-

1

2

+

1+cos2x

2

=

2

2

sin(2x+

π

4

)，
当2x+

π

4

=

π

2

+2kπ时，即x=

π

8

+kπ（k∈Z）时，sin(2x+

π

4

)取得最大值1，此时f（x）取得最大值

2

2

．
即函数f（x）取得最大值

2

2

时自变量x的集合为{x|x=

π

8

+kπ，k∈Z}．

点评：本题综合考查了向量共线定理、同角三角函数基本关系式、数量积运算、倍角公式、两角和差的正弦公式、正弦函数的单调性有界性等基础知识与基本技能方法，考查了计算能力，属于中档题．