题目内容
已知矩阵A对应的变换是先将某平面图形上的点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍，再将所得图形绕原点按顺时针方向旋转90°．
（1）求矩阵A及A的逆矩阵B；
（2）已知矩阵M=
，求M的特征值和特征向量；
（3）若α=
在矩阵B的作用下变换为β，求M50β（运算结果用指数式表示）．
（1）求矩阵A及A的逆矩阵B；
（2）已知矩阵M=
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（3）若α=
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考点：特征值与特征向量的计算,矩阵变换的性质
专题：选作题,矩阵和变换
分析：（1）利用待定系数法，求矩阵A及A的逆矩阵B；
（2）利用特征多项式，求特征值，进而可求特征向量；
（3）确定β=
=
=
-
，再求M50β．
（2）利用特征多项式，求特征值，进而可求特征向量；
（3）确定β=
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| 14 |
| 5 |
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| 3 |
| 5 |
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解答：
解：（1）矩阵A对应的变换是先将某平面图形上的点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍，为
，
将所得图形绕原点按顺时针方向旋转90°，为A=
．
设B=
，则
=
，即a=0，b=1，c=
，d=0，
∴B=
；
（2）特征多项式f（λ）=
，
令f（λ）=0，解得M的特征值λ1=6，λ2=1，
设
=
是矩阵M属于特征值λ2=1的特征向量，
则
=
，∴
取x=3，得
=
，
同理矩阵M属于特征值λ2=6的特征向量为
；
（3）β=
=
=
-
，
∴M50β=
•650
-
•
．
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将所得图形绕原点按顺时针方向旋转90°，为A=
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设B=
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| 1 |
| 2 |
∴B=
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（2）特征多项式f（λ）=
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令f（λ）=0，解得M的特征值λ1=6，λ2=1，
设
| e2 |
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则
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| e2 |
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同理矩阵M属于特征值λ2=6的特征向量为
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（3）β=
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| 14 |
| 5 |
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| 3 |
| 5 |
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∴M50β=
| 14 |
| 5 |
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| 3 |
| 5 |
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点评：本题考查矩阵的性质和应用、特征值与特征向量的计算，解题时要注意特征值与特征向量的计算公式的运用．
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