Question

如图，已知正方体AC₁棱长为2，E、F、G分别是CC₁、BC和CD的中点．
（1）证明：A₁G⊥面EFD；
（2）求二面角E-DF-C的余弦值．

Answer 1

考点：用空间向量求平面间的夹角,直线与平面垂直的判定

专题：空间位置关系与距离,空间角

分析：（1）以D为原点建立如图空间直角坐标系，利用向量法能证明A₁G⊥面EFD．
（2）分别求出面EFD的法向量和面CFD的法向量，由此利用向量法能求出二面角E-DF-C的余弦值．

解答： （本小题满分14分）
（1）证明：以D为原点建立如图空间直角坐标系，
∵正方体棱长为2，
∴D（0，0，0）、E（0，2，1）、F（1，2，0）、
G（0，1，0）、A₁ （2，0，2）、C（0，2，0），…（2分）
则

A1G

=(-2，1，-2)，

DE

=(0，2，1)，

DF

=(1，2，0)…（3分）
∵

A1G

•

DE

=(-2，1，-2)•（0，2，1）=0，
∴

A1G

⊥

DE

…（4分）
∵

A1G

•

DF

=(-2，1，-2)•（1，2，0）=0，
∴

A1G

⊥

DF

…（5分）
又DE∩DF=D，DE?面DEF，DF?面DEF…（6分）
∴A₁G⊥面EFD…（7分）
（2）解：由（1）知

A1G

=(-2，1，-2)为面EFD的法向量，…（8分）
∵CE⊥面CFD，

CE

=(0，0，1)为面CFD的法向量，…（9分）
设

A1G

与

CE

夹角为θ，则cosθ=

A1G • CE

| A1G |•| CE |

=

-2

3•1

=-

2

3

…（12分）
由图可知二面角E-DF-C的平面角为π-θ，
∴二面角E-DF-C的余弦值为

2

3

．…（14分）

点评：本题考查直线与平面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．