Question

如图，圆柱的轴截面ABCD是正方形，点E在底面的圆周上，AF⊥DE，F是垂足．

（1）求证：AF⊥DB；

（2）如果圆柱与三棱锥D﹣ABE的体积的比等于3π，求直线DE与平面ABCD所成的角．

Answer 1

（1）见解析；（2）arcctg（/5）

【解析】

试题分析：（1）欲证AF⊥DB，先证AF⊥平面DEB，根据线面垂直的判定定理可知只需证EB⊥AF，AF⊥DE，且EB∩DE=E，即可证得线面垂直；

（2）点E作EH⊥AB，H是垂足，连接DH，易证∠EDH是DE与平面ABCD所成的角，在三角形EDH中求出此角即可．

（1）证明：根据圆柱性质，DA⊥平面ABE．

∵EB?平面ABE，

∴DA⊥EB．

∵AB是圆柱底面的直径，点E在圆周上，

∴AE⊥EB，又AE∩AD=A，

故得EB⊥平面DAE．

∵AF?平面DAE，

∴EB⊥AF．

又AF⊥DE，且EB∩DE=E，

故得AF⊥平面DEB．

∵DB?平面DEB，

∴AF⊥DB．

（2）【解析】
过点E作EH⊥AB，H是垂足，连接DH．

根据圆柱性质，平面ABCD⊥平面ABE，AB是交线．且EH?平面ABE，所以EH⊥平面ABCD．

又DH?平面ABCD，所以DH是ED在平面ABCD上的射影，从而∠EDH是DE与平面ABCD所成的角．

设圆柱的底面半径为R，则DA=AB=2R，于是

V圆柱=2πR3，．

由V圆柱：VD﹣ABE=3π，得EH=R，可知H是圆柱底面的圆心，

AH=R，

DH=

∴∠EDH=arcctg=arcctg（/5），