Question

设A，B，C是圆x²+y²=1上相异三点，O为坐标原点，若存在正实数λ，μ，使得

OC

=λ

OA

+μ

OB

，则λ²+μ²的取值范围是

 

．

Answer 1

考点：平面向量的基本定理及其意义

专题：平面向量及应用

分析：设向量

OA

，

OB

夹角为θ，根据已知条件对等式

OC

=λ

OA

+μ

OB

两边平方可得1=λ²+μ²+2λμcosθ，根据2λμ≤λ²+μ²，所以讨论cosθ的取值：分-1＜cosθ＜0，cosθ=0，0＜cosθ＜1，从而得出λ²+μ²的取值范围．

解答： 解：由已知条件得：

OC

2=λ2

OA

2+2λμ

OA

•

OB

+μ2

OB

2，
设

OA

，

OB

夹角为θ，且|

OA

|=|

OB

|=|

OC

|=1；
∴1=λ²+μ²+2λμcosθ，∴2λμcosθ=1-（λ²+μ²）；
∵A，B，C三点相异，
∴-1＜cosθ＜1，①若0＜cosθ＜1，则1-（λ²+μ²）=2λμcosθ≤（λ²+μ²）cosθ，
∴λ2+μ2≥

1

1+cosθ

；
∵1＜1+cosθ＜2，
∴

1

2

＜

1

1+cosθ

＜1，
∴λ2+μ2＞

1

2

；
②若cosθ=0，λ²+μ²=1；
③若-1＜cosθ＜0，1-（λ²+μ²）=2λμcosθ≥（λ²+μ²）cosθ，
∴λ2+μ2≤

1

1+cosθ

，
∵0＜1+cosθ＜1，∴

1

1+cosθ

＞1；
综上可得λ²+μ²的取值范围是(

1

2

，+∞)．
故答案为：(

1

2

，+∞)．

点评：考查圆的标准方程，数量积的计算公式，基本不等式：a²+b²≥2ab．