Question

已知f（x）=x²-2ax+3，求f（x）在区间[1，5]上的值域．

Answer 1

考点：函数的值域

专题：函数的性质及应用

分析：将f（x）配方得：f（x）=（x-a）²+3-a²，所以对称轴是x=a，所以讨论对称轴x=a和区间[1，5]的关系：有三种关系：（1）对称轴在区间的右边，（2）对称轴在区间上，（3）对称轴在区间左边，为便于比较f（1），f（3）的大小，第二种情况又分为在区间（1，

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]，和区间（

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，5）上，根据二次函数的单调性及顶点求出每种情况下的f（x）的最大值，最小值即可．

解答： 解：f（x）=x²-2ax+3=（x-a）²+3-a²；
①若a≥5，则函数f（x）在[1，3]上单调递减，所以：
f（x）的最大值为f（1）=4-2a，f（x）的最小值为f（5）=25-10a；
函数的值域是：[25-10a，4-2a]；
②若1＜a≤

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，f（x）的最大值为f（5）=25-10a，最小值为f（a）=3-a²；
函数的值域是：[3-a²，25-10a]；
③若

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＜a＜5，f（x）的最大值是f（1）=4-2a，最小值为f（a）=3-a²；
函数的值域是：[3-a²，4-2a]；
④若a≤1，则f（x）在[1，5]上单调递增，所以：
f（x）的最大值为f（5）=25-10a，最小值为f（1）=4-2a，
函数的值域是：[4-2a，25-10a]．

点评：考查根据二次函数的单调性及取得顶点的情况求二次函数最值的方法，以及二次函数单调性和对称轴的关系．