Question

已知函数f（x）满足：f（x+y）+f（x-y）=2f（x）•f（y）对任意的实数x、y总成立，且f（1）≠f（2），求证：f（x）为偶函数．

Answer 1

考点：抽象函数及其应用,函数奇偶性的性质

专题：证明题,函数的性质及应用

分析：本题考查的是抽象函数及其应用类问题．在解答时：在抽象表达式中令x=y=0代入表达式，讨论f（0）=0不成立，可得f（0）=1，再在抽象表达式中令x=0，y不动，结合f（0）=1即可获得f（-y）与f（y）之间的关系，从而获得函数的奇偶性．

解答： 证明：令x=y=0则有f（0）+f（0）=2f（0）f（0）
即2f（0）=f（0）f（0），
若f（0）=0，则令y=0，即有f（x）+f（x）=2f（x）f（0）=0，
即有f（x）=0，这与f（1）≠f（2）矛盾．
故f（0）≠0，
所以f（0）=1．
令x=0，则有f（y）+f（-y）=2f（0）f（y）=2f（y），
∴f（-y）=f（y），
所以y=f（x）是偶函数．

点评：本题考查的是抽象函数及其应用类问题．在解答的过程当中充分体现了抽象表达式的应用能力、特值的问题处理技巧以及必要的计算能力．同时函数的奇偶性定义也在题目中得到了体现．值得同学们体会和反思．