Question

3．设数列{a_n}的前n项和为S_n，a₁=2，a_n+1=S_n+2（n≥1，n∈N^*），数列{b_n}满足b_n=$\frac{2n-1}{{a}_{n}}$．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）求数列{b_n}的前n项和T_n；
（3）若数列{c_n}满足c_n=$\frac{{a}_{n}}{（{a}_{n}-1）^{2}}$，且{c_n}的前n项和为K_n，求证：K_n＜3．

Answer 1

分析 （1）由数列的递推式，结合等比数列的定义和通项公式，可得所求；
（2）求得b_n=$\frac{2n-1}{{a}_{n}}$=$\frac{2n-1}{{2}^{n}}$，运用数列的求和方法：错位相减法，结合等比数列的求和公式，化简整理可得所求和；
（3）求得c_n=$\frac{{a}_{n}}{（{a}_{n}-1）^{2}}$=$\frac{{2}^{n}}{（{2}^{n}-1）^{2}}$＜$\frac{{2}^{n}}{（{2}^{n}-1）（{2}^{n-1}-1）}$=2（$\frac{1}{{2}^{n-1}-1}$-$\frac{1}{{2}^{n}-1}$），运用数列的求和方法：裂项相消求和，注意从第四项放缩，化简整理即可得证．

解答 解：（1）∵a_n+1=S_n+2①∴a_n=S_n-1+2②
当n≥2时①-②a_n+1-a_n=S_n-S_n-1=a_n，即a_n+1=2a_n，
数列{a_n}为公比q=2的等比数列．
当n=1时，a₂=a₁+2=4，a₂=2a₁=4也满足a_n+1=2a_n．
∴a_n=a₁q^n-1=2ⁿ；
（2）b_n=$\frac{2n-1}{{a}_{n}}$=$\frac{2n-1}{{2}^{n}}$，
前n项和T_n=1•$\frac{1}{2}$+3•（$\frac{1}{2}$）²+5•（$\frac{1}{2}$）³+…+（2n-1）•（$\frac{1}{2}$）ⁿ，③
$\frac{1}{2}$T_n=1•（$\frac{1}{2}$）²+3•（$\frac{1}{2}$）³+5•（$\frac{1}{2}$）⁴+…+（2n-1）•（$\frac{1}{2}$）ⁿ⁺¹，④
③-④：$\frac{1}{2}$T_n=$\frac{1}{2}$+2[（$\frac{1}{2}$）²+（$\frac{1}{2}$）³+…+（$\frac{1}{2}$）ⁿ]-（2n-1）•（$\frac{1}{2}$）ⁿ⁺¹
=$\frac{1}{2}$+2•$\frac{\frac{1}{4}（1-\frac{1}{{2}^{n-1}}）}{1-\frac{1}{2}}$-（2n-1）•（$\frac{1}{2}$）ⁿ⁺¹，
化简可得T_n=3-（2n+3）•（$\frac{1}{2}$）ⁿ；
（3）证明：由（2）可得c_n=$\frac{{a}_{n}}{（{a}_{n}-1）^{2}}$=$\frac{{2}^{n}}{（{2}^{n}-1）^{2}}$＜$\frac{{2}^{n}}{（{2}^{n}-1）（{2}^{n-1}-1）}$=2（$\frac{1}{{2}^{n-1}-1}$-$\frac{1}{{2}^{n}-1}$），
前n项和为K_n=$\frac{2}{{1}^{2}}$+$\frac{4}{{3}^{2}}$+$\frac{8}{{7}^{2}}$+…+$\frac{{2}^{n}}{（{2}^{n}-1）^{2}}$＜2+$\frac{4}{9}$+$\frac{8}{49}$+2（$\frac{1}{7}$-$\frac{1}{15}$+$\frac{1}{15}$-$\frac{1}{31}$+…+$\frac{1}{{2}^{n-1}-1}$-$\frac{1}{{2}^{n}-1}$）
=2+$\frac{4}{9}$+$\frac{22}{49}$-$\frac{2}{{2}^{n}-1}$，
∵$\frac{4}{9}$＜$\frac{1}{2}$，$\frac{22}{49}$-$\frac{2}{{2}^{n}-1}$＜$\frac{1}{2}$
∴K_n＜2+$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$=3，
即K_n＜3．

点评 本题考查数列的通项公式的求法，注意运用递推式，等比数列的通项公式；考查数列的求和方法：错位相减法，同时考查不等式的证明，注意运用放缩法和裂项相消求和法，考查化简整理的运算能力，属于难题．