Question

已知抛物线C的顶在坐标原点，焦点F（0，c）（c＞0）到直线y=2x的距离是

5

10

．
（Ⅰ）求抛物线C的方程；
（Ⅱ）若直线y=kx+1（k≠0）与抛物线C交于A，B两点，设线段AB的中垂线与y轴交于点P（0，b），求b的取值范围．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：综合题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（Ⅰ）利用焦点F（0，c）（c＞0）到直线y=2x的距离是

5

10

，求出c，即可求抛物线C的方程；
（Ⅱ）直线y=kx+1（k≠0）与抛物线C联立，消去y，求出线段AB的中点，可得线段AB的垂直平分线方程，令x=0，得b=k²+2，即可求b的取值范围．

解答： 解：（Ⅰ）∵焦点F（0，c）（c＞0）到直线y=2x的距离是

5

10

，
∴

c

5

=

5

10

，
∴c=

1

2

∴抛物线C的方程为x²=2y；
（Ⅱ）直线y=kx+1（k≠0）与抛物线C联立，消去y整理得x²-2kx-2=0．
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则x₁+x₂=2k，
∴线段AB的中点为Q（k，k²+1），
∴线段AB的垂直平分线方程为y-（k²+1）=-

1

k

（x-k）
在上述方程中令x=0，得b=k²+2≥2．
∴b的取值范围是[2，+∞）．

点评：本题考查抛物线的方程，考查直线与抛物线的位置关系，考查学生的计算能力，确定线段AB的垂直平分线方程是关键．