题目内容
10．已知非零向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$满足|$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$|=|$\overrightarrow{a}$|且|$\overrightarrow{a}$+2$\overrightarrow{b}$|＞|m$\overrightarrow{b}$|恒成立，则实数m的取值范围是（ ）| A． | [-2，2] | B． | [-$\frac{5}{2}$，$\frac{5}{2}$] | C． | （-2，2） | D． | （-$\frac{5}{2}$，$\frac{5}{2}$） |
分析 把已知的等式和不等式两边平方，得到$|\overrightarrow{b}|=2|\overrightarrow{a}|cosθ$，且$|\overrightarrow{a}{|}^{2}+4|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}|cosθ+4|\overrightarrow{b}{|}^{2}＞{m}^{2}|\overrightarrow{b}{|}^{2}$，两式联立可得${m}^{2}＜6+\frac{1}{4co{s}^{2}θ}$，求出$6+\frac{1}{4co{s}^{2}θ}∈[\frac{25}{4}，+∞）$，然后由${m}^{2}＜\frac{25}{4}$求得实数m的取值范围．
解答 解：设$＜\overrightarrow{a}，\overrightarrow{b}＞$=θ，
由|$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$|=|$\overrightarrow{a}$|，两边平方得$|\overrightarrow{a}{|}^{2}+|\overrightarrow{b}{|}^{2}-2|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}|cosθ=|\overrightarrow{a}{|}^{2}$，
∵$\overrightarrow{a}，\overrightarrow{b}$为非零向量，∴$|\overrightarrow{b}|=2|\overrightarrow{a}|cosθ$ ①，
由|$\overrightarrow{a}$+2$\overrightarrow{b}$|＞|m$\overrightarrow{b}$|，得$|\overrightarrow{a}{|}^{2}+4|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}|cosθ+4|\overrightarrow{b}{|}^{2}＞{m}^{2}|\overrightarrow{b}{|}^{2}$ ②，
把①代入②并整理得：4m2cos2θ＜24cos2θ+1，
当cosθ=0时，上式对任意实数m都成立；
当cosθ≠0时，上式化为${m}^{2}＜\frac{24co{s}^{2}θ+1}{4co{s}^{2}θ}=6+\frac{1}{4co{s}^{2}θ}$，
∴cos2θ∈（0，1]，∴4cos2θ∈（0，4]，
∴$\frac{1}{4co{s}^{2}θ}∈$[$\frac{1}{4}$，+∞），则$6+\frac{1}{4co{s}^{2}θ}∈[\frac{25}{4}，+∞）$，
则${m}^{2}＜\frac{25}{4}$，∴$-\frac{5}{2}＜m＜\frac{5}{2}$．
故选：D．
点评 本题考查了平面向量的数量积运算，考查了函数恒成立问题，训练了分离参数法求解变量的取值范围，是中档题．
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如图，△ABC为正三角形，AE和CD都垂直于平而ABC，F是BE中点，AE=AB=2，CD=1．
将全体正整数排成一个三角形数阵；根据以上排列规律，数阵中第n（n≥3）行从左至右的第3个数是$\frac{{n}^{2}-n+6}{2}$．| A． | $\frac{π}{4}$ | B． | $\frac{3π}{4}$ | C． | $\frac{π}{4}$或$\frac{3π}{4}$ | D． | $\frac{π}{3}$ |