Question

已知双曲线x²-y²=2013的左、右顶点分别为M、N，点P是双曲线上异于M、N的任意一点．
（1）记直线PM、PN的斜率分别为k_PM、k_PN，求证：k_PM•k_PN为定值；
（2）若点P是双曲线上位于第一象限的点，且∠PNM=7∠PMN，求∠MPN．
（3）类比到椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)，M、N为其左、右顶点，点P是椭圆上异于M、N的任意一点．k_PM•k_PN还是定值吗？如果是，请求出这个值，如果不是，请说明理由．

Answer 1

考点：圆锥曲线的综合

专题：综合题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）求出M、N的坐标，设P（x₀，y₀），由于P在双曲线上，故

x

2 0

-

y

2 0

=2013，再利用斜率公式，即可得出结论；
（2）设∠PMN=α，则∠PNM=7α，利用k_PM•k_PN=1，可求∠MPN；
（3）设P（x₀，y₀），由于P在椭圆上，故

x

2 0

-a2=-

a2

b2

y

2 0

，再利用斜率公式，即可得出结论．

解答： （1）证明：由题知M(-

2013

，0)，N(

2013

，0)，
设P（x₀，y₀），由于P在双曲线上，故

x

2 0

-

y

2 0

=2013．
∴kPM•kPN=

y0

x0+ 2013

•

y0

x0- 2013

=

y 2 0

x 2 0 -2013

=1．…（3分）
（2）解：设∠PMN=α，则∠PNM=7α，
∴k_PM=tanα，k_PN=tan（π-7α）=-tan7α，
由（1）可知，k_PM•k_PN=1，即tanα•（-tan7α）=1，
∴cos7αcosα+sin7αsinα=0，所以cos6α=0．
又∵0＜α＜7α＜π，∴6α=

π

2

，
∴α=

π

12

，
从而∠MPN=π-α-7α=

π

3

．…（8分）
（3）解：由题知M（-a，0），N（a，0），设P（x₀，y₀），
由于P在椭圆上，故

x

2 0

-a2=-

a2

b2

y

2 0

．
∴kPM•kPN=

y0

x0+a

•

y0

x0-a

=

y 2 0

x 2 0 -a2

=-

b2

a2

．…（12分）

点评：本题考查双曲线的几何性质，考查直线斜率的计算，考查类比思想，正确计算是关键．