Question

1．在直角坐标系xoy中，椭圆C₁：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F₁，F₂，F₂也是抛物线C₂：y²=4x的焦点，点M为C₁与C₂在第一象限的交点，且$|{M{F_2}}|=\frac{5}{3}$．
（1）求C₁的方程；
（2）在C₁上任取一点P，过点P作x轴的垂线段PD，D为垂足，若动点N满足$\overrightarrow{DP}=\frac{{\sqrt{3}}}{2}\overrightarrow{DN}$，当点P在C₁上运动时，求点N的轨迹E的方程．

Answer 1

分析 （1）先由抛物线定义及|MF₂|=$\frac{5}{3}$，求出点M的横坐标，进而求其坐标，再由椭圆焦点为F₂（1，0），又过M点，用待定系数法求出椭圆方程；
（2）设出N（x，y），由动点N满足$\overrightarrow{DP}=\frac{{\sqrt{3}}}{2}\overrightarrow{DN}$，把P的坐标用N的坐标表示，代入椭圆C₁的方程，即可求点N的轨迹方程．

解答 解：（1）由抛物线C₂：y²=4x 知 F₂（1，0），
设M（x₁，y₁），（x₁＞0，y₁＞0），M在C₂上，且|MF₂|=$\frac{5}{3}$，
∴x₁+1=$\frac{5}{3}$，得x₁=$\frac{2}{3}$，代入y²=4x，得y₁=$\frac{2\sqrt{6}}{3}$，
∴M（$\frac{2}{3}$，$\frac{2\sqrt{6}}{3}$）．                                                     
M在C₁上，由已知椭圆C₁的半焦距 c=1，于是$\left\{\begin{array}{l}{\frac{4}{9{a}^{2}}+\frac{8}{3{b}^{2}}=1}\\{{b}^{2}={a}^{2}-1}\end{array}\right.$，
消去b²并整理得 9a⁴-37a²+4=0，解得a=2（a=$\frac{1}{3}$不合题意，舍去）．
故椭圆C₁的方程为$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$；
（2）设N（x，y），
∵$\overrightarrow{DP}=\frac{{\sqrt{3}}}{2}\overrightarrow{DN}$，
∴P（x，$\frac{\sqrt{3}}{2}$y），
代入$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$，可得x²+y²=4．

点评 本题考查了轨迹方程的求法，考查了代入法求曲线的轨迹方程，是中档题．