Question

已知函数f（x）=a^x+

x-2

x+1

（a＞1）．
（1）判定函数f（x）在（-1，+∞）上的单调性，并给出证明；
（2）证明：方程f（x）=0没有负数根．

Answer 1

考点：函数的零点,函数单调性的判断与证明

专题：函数的性质及应用

分析：（1）设x₁，x₂∈（-1，+∞），且x₁＜x₂，判断f（x₁）-f（x₂）的符号，进而根据函数单调性的定义，得到答案．
（2）假设f（x）=0 有负根 x₀，即 f（x₀）=0，根据f（0）=-1，可得 f（x₀）＞f（0）①，若-1＜x₀＜0，由条件可得f（x₀）＜f（0）=-1，这与①矛盾，若x₀＜-1，可得 f（x₀）＞0，这也与①矛盾．

解答： 解：（1）函数在f（x）在（-1，+∞）上为增函数．
证明如下：设x₁，x₂∈（-1，+∞），且x₁＜x₂，
∵a＞1，
∴ax1-ax2＜0，x₁-x₂＜0，x₁+1＞0，x₂+1＞0
∴f（x₁）-f（x₂）=（ax1+

x1-2

x1+1

）-（ax2+

x2-2

x2+1

）=（ax1-ax2）+[

(x1-2)(x2+1)

(x1+1)(x2+1)

-

(x2-2)(x1+1)

(x1+1)(x2+1)

]=（ax1-ax2）+

3(x1-x2)

(x1+1)(x2+1)

＜0，
f（x₁）＜f（x₂）
∴函数f（x）在（-1，+∞）上为增函数．
证明：（2）假设f（x）=0 有负根 x₀，且 x₀≠-1，即 f（x₀）=0．
根据f（0）=1+

0-2

0+1

=-1，可得 f（x₀）＞f（0）①． 
若-1＜x₀＜0，由函数f（x）=a^x+

x-2

x+1

在（-1，+∞）是增函数，可得f（x₀）＜f（0）=-1，这与①矛盾．
若x₀＜-1，则 ax0＞0，x₀-2＜0，x₀+1＜0，∴f（x₀）＞0，这也与①矛盾．
故假设不正确．
∴方程 a^x+

x-2

x+1

=0 没有负根．

点评：本题考查的知识点是函数单调性的证明，用反证法证明数学命题，推出矛盾，是解题的关键和难点．