题目内容

12．过点A（0，1）作直线，与双曲线${x^2}-\frac{y^2}{9}=1$有且只有一个公共点，则符合条件的直线的条数为（　　）
A．0B．2C．4D．无数

分析 用代数法，先联立方程，消元后得到一个方程，先研究相切的情况，即判别式等于零，再研究与渐近线平行的情况．

解答 解：设过点（0，1）与双曲线${x^2}-\frac{y^2}{9}=1$有且只有一个公共点的直线为y=kx+1．
根据题意：$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+1}\\{{x}^{2}-\frac{{y}^{2}}{9}=1}\end{array}\right.$，
消去y整理得（9-k2）x2-2kx-10=0，
∵△=0，
∴k=±$\sqrt{10}$．
又注意直线恒过点（0，1）且渐近线的斜率为±3，
与渐近线平行时也成立．
故过点（0，1）与双曲线${x^2}-\frac{y^2}{9}=1$有且只有一个公共点的直线有4条．
故选C．

点评 本题主要考查直线与双曲线的位置关系，在只有一个公共点时，不要忽视了与渐近线平行的情况．

练习册系列答案
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3．已知函数$f（x）=\left\{\begin{array}{l}x+1（x≤1）\\ \sqrt{x}（x＞1）.\end{array}\right.$若f（x）＞f（x+1），则x的取值范围是（0，1]．
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A．①②B．①③C．②③D．①②③
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4．已知函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{lo{g}_{\frac{1}{2}}x，x＞0}\\{-{x}^{2}-2x，x≤0}\\{\;}\end{array}\right.$，则不等式f（x）≤0的解集为{x|x≥1或x=0或x≤-2}．
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2．设复数z1，z2在复平面内的点关于实轴对称，z1=1+i，则$\frac{z_1}{z_2}$=（　　）
A．-iB．iC．-1D．1

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