Question

在△ABC中，内角A，B，C成等差数列且其对边分别为a，b，c，已知acosC+ccosA=

3

．
（Ⅰ）求边b的值；
（Ⅱ）求△ABC面积的最大值．

Answer 1

考点：正弦定理,余弦定理

专题：综合题,三角函数的求值

分析：（Ⅰ）在△ABC中，内acosC+ccosA=

3

，利用余弦定理将关系式中的角的余弦转化为边，即可求得边b的值；
（Ⅱ）在△ABC中，内角A，B，C成等差数列，可得B的值，利用正弦定理可得S_△ABC=

1

2

acsinB=2sinAsinCsin

π

3

，利用A+C=

2π

3

，转化为只含角A的三角关系式，利用两角差的正弦及辅助角公式可得S_△ABC=

3

2

sin（2A-

π

6

）+

3

4

，从而可得其最大值．

解答： 解：（Ⅰ）由余弦定理得：a•

b2+a2-c2

2ab

+c•

b2+c2-a2

2bc

=

3

，
解得：b=

3

；
（Ⅱ）∵在△ABC中，内角A，B，C成等差数列，
∴B=

π

3

，
由正弦定理

a

sinA

=

c

sinC

=

b

sinB

=

3

3 2

=2得：a=2sinA，c=2sinC，
又A+C=

2π

3

，
∴S_△ABC=

1

2

acsinB=2sinAsinCsin

π

3

=

3

sinAsinC=

3

sinAsin（

2π

3

-A）
=

3

sinA（

3

2

cosA+

1

2

sinA）
=

3

4

sin2A+

3

2

•

1-cos2A

2

=

3

2

sin（2A-

π

6

）+

3

4

，
∵0＜A＜

2π

3

，
∴-

π

6

＜2A-

π

6

＜

7π

6

，
∴当2A-

π

6

=

π

2

，即A=

π

3

时，取“=”．
∴△ABC面积的最大值为：

3 3

4

．

点评：本题考查余弦定理与正弦定理的应用，突出考查三角恒等变换的综合应用，考查转化思想与综合运算能力，属于难题．