题目内容
已知a，b，c均为正实数，且ab+bc+ca=1．
求证：（Ⅰ）a+b+c≥
；
（Ⅱ）
+
+
≥
（
+
+
）．
求证：（Ⅰ）a+b+c≥
| 3 |
（Ⅱ）
|
|
|
| 3 |
| a |
| b |
| c |
考点：不等式的证明
专题：选作题,不等式
分析：（Ⅰ）由题意可得，只需证（a+b+c）2≥3，只需证a2+b2+c2≥1，只需证a2+b2+c2-（ab+bc+ca）≥0，只需证
（a-b）2+（b-c）2+（c-a）2≥0；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，a+b+c≥
，证明
+
+
≥
（
+
+
），只需证明
≥
+
+
，结合基本不等式，即可得证．
（a-b）2+（b-c）2+（c-a）2≥0；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，a+b+c≥
| 3 |
|
|
|
| 3 |
| a |
| b |
| c |
| 1 | ||
|
| a |
| b |
| c |
解答：
证明：（Ⅰ）要证原不等式成立，只需证（a+b+c）2≥3，即证a2+b2+c2+2（ab+bc+ca）≥3，
又ab+bc+ca=1．所以，只需证：a2+b2+c2≥1，即a2+b2+c2-1≥0，
因为ab+bc+ca=1．所以，只需证：a2+b2+c2-（ab+bc+ca）≥0，
只需证：2a2+2b2+2c2-2（ab+bc+ca）≥0，
即（a-b）2+（b-c）2+（c-a）2≥0，而（a-b）2+（b-c）2+（c-a）2≥0显然成立，
故原不等式成立；
（Ⅱ）∵
+
+
=
，
由（Ⅰ）知，a+b+c≥
，
∴证明
+
+
≥
（
+
+
），
只需证明
≥
+
+
，
即证明：a
+b
+c
≤ab+bc+ca，
∵a
≤
，b
≤
，c
≤
，
∴a
+b
+c
≤ab+bc+ca，
∴
+
+
≥
（
+
+
）．
又ab+bc+ca=1．所以，只需证：a2+b2+c2≥1，即a2+b2+c2-1≥0，
因为ab+bc+ca=1．所以，只需证：a2+b2+c2-（ab+bc+ca）≥0，
只需证：2a2+2b2+2c2-2（ab+bc+ca）≥0，
即（a-b）2+（b-c）2+（c-a）2≥0，而（a-b）2+（b-c）2+（c-a）2≥0显然成立，
故原不等式成立；
（Ⅱ）∵
|
|
|
| a+b+c | ||
|
由（Ⅰ）知，a+b+c≥
| 3 |
∴证明
|
|
|
| 3 |
| a |
| b |
| c |
只需证明
| 1 | ||
|
| a |
| b |
| c |
即证明：a
| bc |
| ac |
| ab |
∵a
| bc |
| ab+ac |
| 2 |
| ac |
| ab+bc |
| 2 |
| ab |
| ac+bc |
| 2 |
∴a
| bc |
| ac |
| ab |
∴
|
|
|
| 3 |
| a |
| b |
| c |
点评：本题考查用分析法证明不等式，寻找使不等式成立的充分条件，是解题的关键．
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