Question

13．设椭圆E：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{{8-{a^2}}}$=1（a＞0）的焦点在x轴上，且椭圆E的焦距为4．
（Ⅰ）求椭圆E的标准方程；
（Ⅱ）过椭圆外一点M（m，0）（m＞a）作倾斜角为$\frac{5π}{6}$的直线l与椭圆交于C，D两点，若椭圆E的右焦点F在以弦CD为直径的圆的内部，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根据椭圆的性质a²＞4，a²-（8-a²）=4即可求得a²=6，即可求得椭圆方程；
（Ⅱ）设直线l的方程，代入椭圆方程，由$\overrightarrow{FC}•\overrightarrow{FD}＜0$，根据韦达定理及向量数量积的坐标运算，即可求得实数m的取值范围．

解答 解：（Ⅰ）∵椭圆$E：\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{{8-{a^2}}}=1（a＞0）$，的焦点在x轴上，a²=b²+c²，
∴a²＞8-a²，即a²＞4，
又∵a²-（8-a²）=4
∴a²=6，
所以椭圆方程为$\frac{x^2}{6}+\frac{y^2}{2}=1$．
（Ⅱ）因为直线l的倾斜角为$\frac{5π}{6}$，则直线l的斜率$k=tan\frac{5π}{6}=-\frac{{\sqrt{3}}}{3}$，
∴∴直线l的方程为$y=-\frac{{\sqrt{3}}}{3}（x-m）（m＞\sqrt{6}）$，
设C（x₁，y₁），D（x₂，y₂），
由$\left\{\begin{array}{l}y=-\frac{{\sqrt{3}}}{3}（x-m）\\{x^2}+3{y^2}=6\end{array}\right.$，消去y得2x²-2mx+m²-6=0，
∴x₁+x₂=m，${x_1}{x_2}=\frac{{{m^2}-6}}{2}$，
且△=（-2m）²-8（m²-6）＞0，即m²＜12，
∵椭圆的右焦点F在以弦CD为直径的圆的内部，
∴$\overrightarrow{FC}•\overrightarrow{FD}＜0$，即（x₁-2）（x₂-2）+y₁y₂＜0，
∴$4{x_1}{x_2}-（m+6）（{x_1}+{x_2}）+{m^2}+12＜0$，
∴$4×\frac{{{m^2}-6}}{2}-（m+6）×m+{m^2}+12＜0$，
即m²-3m＜0，则0＜m＜3，
又$m＞\sqrt{6}$，m²＜12，
∴$m∈（\sqrt{6}，3）$．
实数m的取值范围（$\sqrt{6}$，3）．

点评 本题考查椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理，向量数量积的坐标运算，考查计算能力，属于中档题．