Question

15．已知函数f（x）=2|x-2|+3|x+3|．
（1）解不等式：f（x）＞15；
（2）若函数f（x）的最小值为m，正实数a，b满足4a+25b=m，证明：$\frac{1}{a}$+$\frac{1}{b}$≥$\frac{49}{10}$．

Answer 1

分析 （1）通过讨论x的范围，求出不等式的解集即可；
（2）求出f（x）的最小值m，得到$\frac{2}{5}$a+$\frac{5}{2}$b=1，根据基本不等式的性质证明即可．

解答 解：（1）x≥2时，2x-4+3x+9＞15，解得：x＞4，
-3＜x＜2时，4-2x+3x+9＞15，无解；
x≤-3时，4-2x-3x-9＞15，解得：x＜-$\frac{2}{5}$，
综上，不等式的解集是（-∞，-3]∪（4，+∞）；
（2）f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{5x+5，x≥2}\\{x+13，-3＜x＜2}\\{-5x-5，x≤-3}\end{array}\right.$，
故f（x）的最小值是10，
即4a+25b=10，即$\frac{2}{5}$a+$\frac{5}{2}$b=1（a＞0，b＞0），
∴$\frac{1}{a}$+$\frac{1}{b}$=（$\frac{1}{a}$+$\frac{1}{b}$）（$\frac{2}{5}$a+$\frac{5}{2}$b）=$\frac{29}{10}$+$\frac{5b}{2a}$+$\frac{2a}{5b}$≥$\frac{29}{10}$+2$\sqrt{\frac{5b}{2a}•\frac{2a}{5b}}$=$\frac{49}{10}$．

点评 本题考查了解绝对值不等式问题，考查基本不等式的性质，是一道中档题．