Question

8．在数1和e²之间插入n个实数x₁，x₂，x₃，…，x_n，使得这n+2个数构成递增的等比数列，将这插入的n个数的乘积记作T_n，再令a_n=lnT_n，n∈N^*．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设b_n=$\frac{1}{{{a_n}•（{a_n}+2）}}$，求数列{b_n}的前n项和S_n；
（3）若对任意n∈N^*，都有S_n$＜\frac{m}{60}$成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由1，x₁，x₂，•…•x_n，e²构成等比数列，T_n=x₁x₂•…•x_n=eⁿ，进而得出．
（2）利用“裂项求和”方法即可得出．
（3）利用数列的单调性即可得出．

解答 解：（1）∵1，x₁，x₂，•…•x_n，e²构成等比数列，
又T_n=x₁x₂•…•x_n=eⁿ，
∴a_n=lnT_n=lneⁿ=n．
（2）∴${S_n}={b_1}+{b_2}+…+{b_n}=\frac{1}{2}[{（{1-\frac{1}{3}}）+（{\frac{1}{2}-\frac{1}{4}}）+…+（{\frac{1}{n}-\frac{1}{n+2}}）}]$
=$\frac{1}{2}（{1+\frac{1}{2}-\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+2}}）=\frac{1}{2}（{\frac{3}{2}-\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+2}}）=\frac{1}{2}[{\frac{3}{2}-\frac{2n+3}{{（{n+1}）（{n+2}）}}}]$．
（3）∵S_n=$\frac{3}{4}$-$\frac{2n+3}{2（n+1）（n+2）}$$＜\frac{3}{4}$，
∴对任意n∈N^*，都有S_n$＜\frac{m}{60}$成立$?\frac{m}{60}≥\frac{3}{4}?m≥45$．
故m∈[45，+∞）．

点评 本题考查了等比数列的通项公式及其性质、“裂项求和”方法、数列的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．