Question

18．已知椭圆$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1，（a＞b＞0）$的两焦点F₁，F₂，过F₂作垂直于x轴的直线与椭圆相交，交点分别是P₁，P₂，△F₁P₁P₂为正三角形，椭圆的离心率为（　　）

• A． $\frac{{\sqrt{2}}}{2}$
• B． $\frac{{\sqrt{3}}}{3}$
• C． $\frac{{\sqrt{3}}}{4}$
• D． $\sqrt{3}$

Answer 1

分析 把x=c代入椭圆方程可得y=$±\frac{{b}^{2}}{a}$，再利用△F₁P₁P₂为正三角形，可得$\sqrt{3}$×$\frac{{b}^{2}}{a}$=2c，化简即可得出．

解答 解：把x=c代入椭圆方程可得：$\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1，解得y=$±\frac{{b}^{2}}{a}$，
∵△F₁P₁P₂为正三角形，∴$\sqrt{3}$×$\frac{{b}^{2}}{a}$=2c，∴$\sqrt{3}（{a}^{2}-{c}^{2}）$=2ac，即$\sqrt{3}{e}^{2}$+2e-$\sqrt{3}$=0，
解得：e=$\frac{\sqrt{3}}{3}$．
故选：B．

点评 本题考查了椭圆的标准方程及其性质、等边三角形的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．