题目内容
3．关于x的方程$\sqrt{1-{x}^{2}}$=kx+2有唯一实数解，则实数k的取值范围是（ ）| A． | $\left\{{±\sqrt{3}}\right\}$ | B． | （-∞，-2）∪（2，+∞） | C． | （-2，2） | D． | $（{-∞，-2}）∪\left\{{±\sqrt{3}}\right\}∪（{2，+∞}）$ |
分析 由题意，方程左边对应的函数图象是以原点为圆心、半径为1的圆的上半圆，右边对应的函数图象是经过定点C（0，2）且斜率为k的一条直线．可得当直线与半圆相切时或直线在x轴上的交点位于（-1，0）和（1，0）之间时，原方程有唯一的实数解．由此建立关于k的代数关系式，即可得到实数k的范围．
解答 
解：设y1=$\sqrt{1-{x}^{2}}$，
表示以原点为圆心、半径为1的圆的上半圆（含端点A、B）
设y2=kx+2，表示经过定点C（0，2）且斜率为k的一条直线
当直线y2=kx+2与半圆y1=$\sqrt{1-{x}^{2}}$相切时，原方程有唯一解
此时原点到直线的距离等于1，得$\frac{2}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$=1，解之得k=±$\sqrt{3}$，
当直线在x轴上的交点位于A、B之间时，原方程也有唯一解
∵kAC=2且kBC=-2，
∴线在x轴上的交点位于A、B之间时，k＜-2或k＞2
综上所述，原方程有唯一实数解时，k＜-2或k＞2或k=±$\sqrt{3}$．
故选：D
点评 本题给出方程有唯一的实数解，求参数k的值或范围．着重考查了直线方程、圆的方程和直线与圆的位置关系等知识，属于中档题．
练习册系列答案
相关题目
6．若变量x，y满足约束条件$\left\{\begin{array}{l}{x-y+1≥0}\\{x-2y≤0}\\{x+2y-2≤0}\end{array}\right.$，则z=x+y的最大值为（ ）
| A． | 1 | B． | $\frac{3}{2}$ | C． | $\frac{5}{4}$ | D． | -3 |
15．已知关于x的函数y=loga（2-ax）在[1，2]上是增函数，则a的取值范围是（ ）
| A． | （0，1） | B． | （1，2） | C． | （0，2） | D． | [2，+∞） |
请认真阅读程序框图，然后回答问题，其中n0∈N．