Question

13．点P到A（1，0）和直线x=-1的距离相等，且P到直线y=x的距离等于$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，这样的点P共有（　　）

• A． 1个
• B． 2个
• C． 3个
• D． 4个

Answer 1

分析 根据抛物线的定义，点P是在以A为焦点，x=-1为准线的抛物线上，且抛物线轨迹方程为y²=4x，故可设点P的坐标为（a，$\frac{{a}^{2}}{4}$），再根据点到直线的距离公式得到关于a的方程，方程解的个数即点P的个数．

解答 解：∵点P到A（1，0）和直线x=-1的距离相等，
∴点P是在以A为焦点，x=-1为准线的抛物线上，且抛物线轨迹方程为y²=4x
故设P（$\frac{{a}^{2}}{4}$，a），
∵且P到直线y=x的距离等于$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，
∴$\frac{|a-\frac{{a}^{2}}{4}|}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，即a²-4a±4=0，
由a²-4a+4=0，得a=2，
由a²-4a-4=0，得a=$2±2\sqrt{2}$，
∴这样的点P共有3个．
故选C

点评 本题考查了抛物线的定义和标准方程，点到直线的距离公式，以及含绝对值的方程的解法，属于中档题．